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更新:2016-03-31 15:51

简介:

 
 
高中高一数学必修1各章知识点总结
 
第一章 集合与函数概念
 
一、集合有关概念
 
1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。
 
2、集合的中元素的三个特性:
 
1.元素的确定性;  2.元素的互异性;  3.元素的无序性
 
说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
 
(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。
 
(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。
 
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
 
3、集合的表示:{ … } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
 
1. 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
 
2.集合的表示方法:列举法与描述法。
 
注意啊:常用数集及其记法:
 
非负整数集(即自然数集)记作:N
 
正整数集  N*或 N+   整数集Z  有理数集Q  实数集R
 
关于“属于”的概念
 
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作 a∈A ,相反,a不属于集合A 记作 a?A
 
列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。
 
描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
 
①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
 
②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}
 
4、集合的分类:
 
1.有限集   含有有限个元素的集合
 
2.无限集   含有无限个元素的集合
 
3.空集     不含任何元素的集合  例:{x|x2=-5}
 
二、集合间的基本关系
 
1.“包含”关系—子集
 
注意: 有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。
 
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A
 
2.“相等”关系(5≥5,且5≤5,则5=5)
 
实例:设  A={x|x2-1=0}    B={-1,1}   “元素相同”
 
结论:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B
 
① 任何一个集合是它本身的子集。AíA
 
②真子集:如果AíB,且A1 B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A)
 
③如果 AíB, BíC ,那么 AíC
 
④ 如果AíB  同时 BíA 那么A=B
 
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
 
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
 
三、集合的运算
 
1.交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.
 
记作A∩B(读作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
 
2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。记作:A∪B(读作”A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
 
3、交集与并集的性质:A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A,
 
A∪φ= A ,A∪B = B∪A.
 
4、全集与补集
 
(1)补集:设S是一个集合,A是S的一个子集(即 ),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)
 
记作: CSA     即 CSA ={x | x?S且 x?A}
 
S
 
CsA
 
A
 
(2)全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。
 
(3)性质:⑴CU(C UA)=A  ⑵(C UA)∩A=Φ  ⑶(CUA)∪A=U
 
二、函数的有关概念
 
1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.
 
注意:2如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.
 
定义域补充
 
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.  (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
 
(又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
 
构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域
 
再注意:(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备)
 
(见课本21页相关例2)
 
值域补充
 
(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.  (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。
 
3. 函数图象知识归纳
 
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.
 
C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }
 
图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
 
(2) 画法
 
A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
 
B、图象变换法(请参考必修4三角函数)
 
常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换
 
(3)作用:
 
1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。
 
发现解题中的错误。
 
4.快去了解区间的概念
 
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示.
 
5.什么叫做映射
 
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f:A B”
 
给定一个集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象
 
说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A、B及对应法则f是确定的;②对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的;③对于映射f:A→B来说,则应满足:(Ⅰ)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
 
常用的函数表示法及各自的优点:
 
1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据;2 解析法:必须注明函数的定义域;3 图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;4 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.
 
注意啊:解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数值
 
补充一:分段函数   (参见课本P24-25)
 
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
 
补充二:复合函数
 
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A)  称为f、g的复合函数。
 
例如:   y=2sinX         y=2cos(X2+1)
 
7.函数单调性
 
(1).增函数
 
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1
 
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1
 
注意:1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
 
2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1
 
(2) 图象的特点
 
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
 
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
 
(A) 定义法:
 
1 任取x1,x2∈D,且x1
 
(B)图象法(从图象上看升降)_
 
(C)复合函数的单调性
 
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下:
 
函数
 单调性
 
u=g(x)
 增
 增
 减
 减
 
y=f(u)
 增
 减
 增
 减
 
y=f[g(x)]
 增
 减
 减
 增
 
注意:1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗?
 
8.函数的奇偶性
 
(1)偶函数
 
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
 
(2).奇函数
 
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
 
注意:1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
 
2 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).
 
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
 
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
 
总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;2 确定f(-x)与f(x)的关系;3 作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.
 
注意啊:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .
 
9、函数的解析表达式
 
(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
 
(2).求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;已知复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用凑配法;若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出f(x)
 
10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)
 
1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值2 利用图象求函数的最大(小)值3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
 
第二章 基本初等函数
 
一、指数函数
 
(一)指数与指数幂的运算
 
1.根式的概念:一般地,如果 ,那么 叫做 的 次方根(n th root),其中 >1,且 ∈ *.
 
当 是奇数时,正数的 次方根是一个正数,负数的 次方根是一个负数.此时, 的 次方根用符号 表示.式子 叫做根式(radical),这里 叫做根指数(radical exponent), 叫做被开方数(radicand).
 
当 是偶数时,正数的 次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数 的正的 次方根用符号 表示,负的 次方根用符号- 表示.正的 次方根与负的 次方根可以合并成± ( >0).由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作 。
 
注意:当 是奇数时, ,当 是偶数时, 
2.分数指数幂
 
正数的分数指数幂的意义,规定:
 
, 
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
 
指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.
 
3.实数指数幂的运算性质
 
(1) ·                                           ;
 
(2)                                              ;
 
(3)                                            .
 
(二)指数函数及其性质
 
1、指数函数的概念:一般地,函数 叫做指数函数(exponential ),其中x是自变量,函数的定义域为R.
 
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
 
2、指数函数的图象和性质
 
a>1
 0
 
图象特征
 函数性质
 
向x、y轴正负方向无限延伸
 函数的定义域为R
 
图象关于原点和y轴不对称
 非奇非偶函数
 
函数图象都在x轴上方
 函数的值域为R+
 
函数图象都过定点(0,1)
 
自左向右看,
 
图象逐渐上升
 自左向右看,
 
图象逐渐下降
 增函数
 减函数
 
在第一象限内的图象纵坐标都大于1
 在第一象限内的图象纵坐标都小于1
 
在第二象限内的图象纵坐标都小于1
 在第二象限内的图象纵坐标都大于1
 
图象上升趋势是越来越陡
 图象上升趋势是越来越缓
 函数值开始增长较慢,到了某一值后增长速度极快;
 函数值开始减小极快,到了某一值后减小速度较慢;
 
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a,b]上, 值域是 或 ;
(2)若 ,则 ; 取遍所有正数当且仅当 ;
(3)对于指数函数 ,总有 ;
(4)当 时,若 ,则 ;
 
二、对数函数
 
(一)对数
 
1.对数的概念:一般地,如果 ,那么数 叫做以 为底 的对数,记作: ( — 底数, — 真数, — 对数式)
 
说明:1 注意底数的限制 ,且 ;
 
2 ;
 
3 注意对数的书写格式.
 
两个重要对数:
 
1 常用对数:以10为底的对数 ;
 
2 自然对数:以无理数 为底的对数的对数 .
 
对数式与指数式的互化
 
对数式                                                            指数式
 
对数底数         ←                                      → 幂底数
 
对数                                                     ←   →  指数
 
真数                                                     ←   →   幂
 
(二)对数的运算性质
 
如果 ,且 , , ,那么:
 
1 · + ;
 
2 - ;
 
3    .
 
注意:换底公式
 
   ( ,且 ; ,且 ; ).
 
利用换底公式推导下面的结论(1) ;(2) .
 
(二)对数函数
 
1、对数函数的概念:函数 ,且 叫做对数函数,其中 是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
 
注意:1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。
 
如: ,  都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
 
2 对数函数对底数的限制: ,且 .
 
2、对数函数的性质:
 
a>1
 0
 
图象特征
 函数性质
 
函数图象都在y轴右侧
 函数的定义域为(0,+∞)
 
图象关于原点和y轴不对称
 非奇非偶函数
 
向y轴正负方向无限延伸
 函数的值域为R
 
函数图象都过定点(1,0)
 
自左向右看,
 
图象逐渐上升
 自左向右看,
 
图象逐渐下降
 增函数
 减函数
 
第一象限的图象纵坐标都大于0
 第一象限的图象纵坐标都大于0
 
第二象限的图象纵坐标都小于0
 第二象限的图象纵坐标都小于0
 
(三)幂函数
 
1、幂函数定义:一般地,形如 的函数称为幂函数,其中 为常数.
 
2、幂函数性质归纳.
 
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);
 
(2) 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 上是增函数.特别地,当 时,幂函数的图象下凸;当 时,幂函数的图象上凸;
 
(3) 时,幂函数的图象在区间 上是减函数.在第一象限内,当 从右边趋向原点时,图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴,当 趋于 时,图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴.
 
第三章 函数的应用
 
一、方程的根与函数的零点
 
1、函数零点的概念:对于函数 ,把使 成立的实数 叫做函数 的零点。
 
2、函数零点的意义:函数 的零点就是方程 实数根,亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。即:
 
方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点.
 
3、函数零点的求法:
 
求函数 的零点:
 
1 (代数法)求方程 的实数根;
 
2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
 
4、二次函数的零点:
 
二次函数 .
 
1)△>0,方程 有两不等实根,二次函数的图象与 轴有两个交点,二次函数有两个零点.
 
2)△=0,方程 有两相等实根(二重根),二次函数的图象与 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
 
3)△<0,方程 无实根,二次函数的图象与 轴无交点,二次函数无零点.