第1章 二次根式 二次根式属于“数与代数”领域的内容,它是在学生学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的,是对七年级上册“实数”“代数式”等内容的延伸和补充.二次根式的运算以整式的运算为基础,在进行二次根式的有关运算时,所使用的运算法则与整式、分式的相关法则类似；在进行二次根式的加减时,所采用的方法与合并同类项类似；在进行二次根式的乘除时,所使用的法则和公式与整式的乘法运算法则及乘法公式类似.这些都说明了前后知识之间的内在联系. 本章的主要内容有二次根式,二次根式的性质,二次根式的运算（根号内不含字母、不含分母有理化）. 一、教科书内容和教学目标 本章的教学要求. （1）了解二次根式的概念,了解简单二次根式的字母取值范围； （2）了解二次根式的性质； （3）了解二次根式的加、减、乘、除的运算法则； （4）会用二次根式的性质和运算法则进行有关实数的简单四则运算（不要求分母有理化）. 本章教材分析. 课本在回顾算术平方根的基础上,通过“合作学习”的三个问题引出二次根式的概念,并说明以前学的数的算术平方根也叫做二次根式.在例题和练习的安排上,着重体现三个方面的要求：一是求二次根式中字母的取值范围；二是求二次根式的值；三是用二次根式表示有关的问题. 对于二次根式的性质,课本利用第4页图1-2给出的.该图的含义是如果正方形的面积为,那么这个正方形的边长就是；反之,如果正方形的边长为,那么这个正方形的面积就是,因此就有.从而得出二次根式的第一个性质.至于第二个性质,可以通过学生的计算来发现,所以课本安排了一个“合作学习”,让学生自己去发现和归纳.该节第一课时的重点在于对这两个性质的理解和运用,例题和练习的设计就围绕这两个性质展开.第二课时是学习二次根式的另外两个性质,课本安排两组练习,意在让学生通过自己的尝试,与同学的合作交流来发现这两个性质.通过两个例题和一组练习,使学生知道运用二次根式的性质,可以简化实数的运算,也可以对结果是二次根式的式子进行化简.课本第9页的“探究活动”既是对二次根式的运用,更在于培养学生的一种探究能力,观察、发现、归纳等能力. 第1.3节二次根式的运算,包含了二次根式的加、减、乘、除四种运算以及简单应用,课本安排了3个课时,逐步推进,逐渐综合.第一课时侧重于两个（相当于两个单项式）二次根式的乘除,其法则是从二次根式的性质得到的,比较自然.例1是对两个运算法则的直接运用,让学生有一个对法则的熟悉和熟练过程；例2是一个结合实际问题的运用,其中有勾股定理和三角形的面积计算.第二课时是二次根式的加减和乘除混合运算,出现了类似单项式乘以多项式、多项式乘以多项式（包括乘法公式、乘方）、多项式除以单项式的运算.课本中没有出现“同类二次根式”的概念,只是提到“类似于合并同类项”“相同二次根式的项”,这种类比的方法,学生是能够理解的,也能够与整式一样进行运算.第三课时是二次根式运算的应用.例6的数字看上去比较复杂,其目的是为了二次根式的运算的应用；例7综合运用了直角三角形的有关知识、图形的分割、面积的计算等,其解答过程较长,也是对二次根式知识的综合运用. 二、本章编写特点 注重学生的观察、分析、归纳、探究等能力的培养. 在本章知识的呈现方式上,课本比较突出地体现了“问题情境——数学活动——概括——巩固、应用和拓展”的叙述模式,这种意图大多通过“合作学习” 来完成.“合作学习”为学生创设了从事观察、猜测、验证交流等数学活动的机会.如第5页先让学生计算三组与的具体数值,再议一议与的关系,然后得出二次根式的性质“=”.二次根式的其他几个性质,课本中也是采用类似的方法.在学习了二次根式的有关性质后,课本又设计了一个“探究活动”,通过化简有关的二次根式,让学生自己去发现规律、表示规律、验证规律,并与同伴交流.所有这些都是教材编写的一种导向,以引起教与学方式上的一些的改变. 注重数学知识与现实生活的联系. 教材力求克服传统观念上学习二次根式的枯燥性,避免大量纯式子的化简或计算,适当穿插实际应用或赋予式子一些实际意义.无论是学习二次根式的概念,还是学习二次根式的性质和运算,都尽可能把所学的知识与现实生活相联系,重视运用所学知识解决实际问题能力的培养.如二次根式概念的学习,课本通过三个实际问题来引入,其目的就是关注概念的实际背景与形成过程,克服机械记忆概念的学习方式.又如,课本第3页,用二次根式表示轮船航行的的距离,第11页求路标的面积,第21页花草的种植面积问题等.特别是在二次根式的运算中,专门安排了一节内容学习二次根式运算的应用,例6选取的背景是学生熟悉的滑梯,例7选取的背景是学生感兴趣的剪纸条,以及作业中的堤坝、快艇问题等等. 充分利用图形,使代数与几何有机结合. 对于数与代数的内容,教材重视有关内容的几何背景,运用几何直观帮助学生理解、解决有关代数问题,是教材的一个编写特点,也是对教学的一种导向.本章中,如二次根式与直角三角形有关边的计算密切相关,课本在这方面选取了一定量的问题,既丰富了勾股定理的运用,又学习了二次根式的计算.又如二次根式的引入,课本以图形作为条件,让学生通过计算给出二次根式的概念；在学习二次根式的性质时,课本通过让学生读图1-2,从正反两方面来理解其含义,得出二次根式的性质.例题中结合图形示意,帮助学生理解问题,解决问题；作业或课本练习中设计一些图形中有关线段长度的计算；通过方格、直角坐标系来画三角形、确定点的位置等等.课本在安排二次根式的运算在日常生活和生产实际中的应用时,所选取的问题也在于体现学生所学知识之间的联系,感受所学知识的整体性,不断丰富学生解决问题的策略,提高解决问题的能力. 三、教学建议 注意用好节前语. 本章的节前语不多,但都紧密结合本节学习的内容,提出一个具体的问题.教学中可以利用它们来创设问题情境,引入课题.如第1.1节“排球网的高AD为2.43米,CB为米,你能用代数式表示AC的长吗?”短短的几句话,既是一个学生熟悉的问题情境,又是一个看似熟悉但又具有一定的挑战怀,与数学学习相联系的问题,教师可以由此提出一个与本节课学习有关的问题.教学中不应忽视这种作用. 注意把握教学难度. 与以往的教材相比,二次根式已降低了要求.如运用二次根式的性质将二次根式化简,只要求简单的,不要出现过于复杂的式子,并且明确根号内不含字母.对二次根式的四则运算,也仅局限于简单的,根号内不含字母,教学中不需补充超出课本题目要求的问题.当然对不同层次的学生,应该体现一定的弹性.课本第15页的作业题中的第7,8题,还可以借助于计算器进行计算. 充分运用类比的方法. 二次根式的运算以整式的运算为基础,其法则、公式都与整式的类似,特别是二次根式的加减,课本没有提出同类二次根式的概念,完全参照合并同类项的方法；二次根式的乘除、乘方运算类似于整式的乘除、乘方运算.因此对于二次根式的四则运算的教学应充分运用类比的方法,让学生理解其算理和算法,提高运算能力. 第2章 一元二次方程 一、教科书内容和课程学习目标 （一）教科书内容 本章包括三节： 2．1 一元二次方程； 2．2一元二次方程的解法； 2．3一元二次方程的应用. 其中2．1节是全章的基础部分,2．2节是全章的重点内容,2．3节是知识应用和引申的内容.另外,阅读材料介绍了一元二次方程的发展,让学生了解数学的发展史. （二）本章的知识结构 （三）课程目标 （1）了解一元二次方程的概念,会用直接开平方法解形如（b≥0）的方程； （2）理解配方法,会用配方法解数字系数的一元二次方程；掌握一元二次方程求根公式的推导,会用求根公式解一元二次方程；会用因式分解法解一元二次方程,使学生能够根据方程的特征,灵活运用一元二次方程的各种解法求方程的根. （3）体验用观察法、画图或计算器等手段估计方程的解的过程. （4）能够根据具体问题中的数量关系,能够列出一元二程方程解应用题,能够发现、提出日常生活、生产或其他学科中可利用一元二次方程来解决的实际问题,并正确地用语言表达问题及解决过程.体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型. （5）结合教学内容进一步培养学生逻辑思维能力,对学生进行辩证唯物主义观点的教育,通过一元二次方程的教学,使学生进一步获得对事物可以转化的认识. （四）课时安排 2．1 一元二次方程…………………………………………………………2课时 其中：一元二次方程的概念……………………1课时 因式分解法解一元二次方程……………1课时 2．2一元二次方程的解法………………………………………………4课时 其中：开方法、配方法………………………2课时 公式法…………………………………2课时 2．3一元二次方程的应用………………………………………………2课时 小结、目标与评定………………………………………………………2课时 二、编写指导思想与特点 方程教学在中学数学教学中占有很大的比例,一元二次方程在初中代数中占有重要地位.一方面,一元二次方程可以看成是前面所学过的有关知识的综合运用,如有理数、实数的概念和整式、分式、开平方等的运算,一元一次方程、一元一次方程组解法等知识,在本章都有应用.从数学角度看,这一章的学习有一定难度,如果前面某个环节薄弱或知识点有问题,就会给本章的学习带来困难,因此,这一章的教学是对以前所学的有关知识的检验,又是一次复习与巩固.当然,一元二次方程知识也是前面所学知识的继续和发展,尤其是方程方面知识的深入和发展. 本章的主要内容是一元二次方程的解法和应用,课本首先引入一元二次方程的概念,从实数的性质,将分解成为两个一次因式相乘积为零的一元二次方程转化为两个一元一次方程入手,介绍了利用因式分解法解一元二次方程的方法,体现了数学的转化思想.接着课本首先从数的开平方的知识出发,直接讲开平方法,然后依次介绍了配方法和公式法.在讲述公式法的同时,课本特别给出了利用计算器解一元二次方程的解法示例,以揭示技术发展给数学学习带来的影响,这也是一种新的尝试.同时,以建立数学模型为主要着力点介绍了一元二次方程的应用,并在例题的设置上充分考虑了图表、立体图形、物体运动和经济活动中的问题背景,力图使学生在现实的环境中学习数学. 这一章是全书乃至整个初中代数的一个重点内容.因为这一部分内容既是对以前所学内容的总结、巩固和提高,又是以后学习的知识基础.因此这一章可以说是起到了承上启下的作用.高中阶段的指数方程、对数方程及三角方程,无非就是指数、对数、三角函数的有关知识与一元一次方程、一元二次方程的综合而已.初中代数中的不少主要技能、解题方法以及一些常用的数学思想方法,在本章都有所体现.例如,换元法、因式分解法、配方法等.另外,从具体到抽象的概括能力、逻辑推理能力等等在本章也有体现.可以说,无论从基础知识还是基本技能看,这一章都占有重要的地位.在本章的内容中,应以一元二次方程的解法,特别是公式法作为重点. 三、教材体现的数学思想方法 本章从内容上看是初中代数的重点,从数学思想方法方面来看,也是初中数学中比较全面体现的一章. 1．方程的思想 方程本身就提供了一种重要的数学思想方法,这一点在一元二次方程中体现的更为充分.学习方程不仅为进一步学习其他知识打下基础,不仅可用于解决一些实际问题,而且在更广泛的意义上讲,通过方程可以沟通已知与未知之间的联系,从而由解方程就可以使问题得以解决,通常称之为方程思想.方程思想作为一种数学思想,在数学发展史上有重要作用,对求解数学问题来说也有重要的意义. 2．公式解法 一元二次方程的公式解法在数学思想方法上有重要意义.首先,公式法是人们所知的多次方程的第一种公式(根式)解,它为以后进行公式解的研究开辟了道路,并且是引起近似代数的起源问题之一,在数学的学习中也有重要意义；其次,公式法解体现了数学中的算子的思想,将数学问题进行抽象化、符号化、程序化,这是数学发展的重要的途径. 3．分类讨论的数学思想 一元二次方程求根公式中,涉及开方问题,即对要实施开平方,而前面已经学过负数没有平方根.因此的状态就决定了一元二次方程根的状态.必须对的符号进行讨论.分类讨论的数学思想是一种极为重要的数学思想方法,教材中对Δ=的三种分类讨论隐含在课堂教学之中,通过“想一想”让学生自然地得到结论,降低由于数学思想上的要求所带来的学习上的难度,这是一种合理的处理方法.实际上,判别式的讨论是不解方程而对方程的根进行定性研究的重要指标.在研究二次函数的图象和性质等方面有重要意义,在研究二次曲线的问题时有重要地位.判别式实质上是利用方程的系数研究方程的性质,是一种以局部研究探求具体性质的方法.找一种关键性的数量关系去定性地研究一类对象,也是一种常见的数学思想方法. 4．转化(化归)的数学思想 在本章中更突出地表示出“转化”的思想方法.如利用因式分解法解一元二次方程就是将一元二次方程转化为两个一元一次方程.严格地说,转化的思想是数学中认识和掌握新知识的重要途径,掌握这种方法,可以提高学生的数学能力,拓展学生数学知识.如换元法就是一种很重要的转化思想,这在本章也有不少的体现. 四、教材处理 关于教材处理,按教材内容的安排及课程标准的要求,分三部分进行分析： 1．一元二次方程 本节包括一元二次方程的概念、因式分解法解一元二次方程,这一单元是本章的基础,教材两个问题中引入了一元二次方程的概念,一个问题是学生所熟悉的正方形和长方形的面积,另一个问题是从报纸上公布的统计数据,教学的重点是对方程的一般形式的认识和对方程解的理解,在此基础上,引入用因式分解法求一元二次方程解的方法,将这种解安排在此处,其目的是为了加强学生对学习方程目的的理解,并为后续通过转化求方程解奠定思想基础. 2．一元二次方程的解法 本节是本章的核心内容,主要是一元二次方程的各种解法.其中的一元二次方程的配方法和应用一元二次方程知识理解应用问题是重点,而这两个重点又是教学过程中的难点.一元二次方程的解法,尤其是公式法是学好本章的关键.因此,本节又是全章的重点,是学好本章的基础. 一元二次方程的解法,课本介绍了四种,即直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法. 直接开平方法适用于（b≥0）模式的方程.实际上,给出的一般方程只要存在实根,就可以用配方法转化为的形式.例如,课本中将方程转化为,因此配方法是直接开方法的延伸,而直接开平方法是配方法的基础. 在配方法解一元二次方程的基础上,很自然地推出一元二次方程的求根公式,实际上就是对一般形式（a≠0)的一元二次方程实施配方法的结果. 对于三种解法,公式法可以是一种“万能”方法,只要△=≥0,将系数a,b,c代入公式即可求解.在教学中注意一元二次方程中的a≠0的条件.在配方时应强调方程两边同时加上“一次项系数之半的平方”或在左端加上“一次项系数之半的平方”再减去“一次项系数之半的平方”,实质上是方程的一种同解变形,这是必须反复训练方可达到学生熟练进行配方的目的,它也是推导求根公式的基础. 对△=的讨论,首先要渗透分类讨论的思想,另外,对△==0的情况,一定要强调有两个相等的实根：与方程根的理论一致,学生开始会认识只有一根,要反复强调,以纠正这种不正确的或说是不严密的结论.对△=