第1章 二次根式

 

二次根式属于“数与代数”领域的内容,它是在学生学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的,是对七年级上册“实数”“代数式”等内容的延伸和补充.二次根式的运算以整式的运算为基础,在进行二次根式的有关运算时,所使用的运算法则与整式、分式的相关法则类似；在进行二次根式的加减时,所采用的方法与合并同类项类似；在进行二次根式的乘除时,所使用的法则和公式与整式的乘法运算法则及乘法公式类似.这些都说明了前后知识之间的内在联系.

本章的主要内容有二次根式,二次根式的性质,二次根式的运算（根号内不含字母、不含分母有理化）.

一、教科书内容和教学目标

本章的教学要求.

（1）了解二次根式的概念,了解简单二次根式的字母取值范围；

（2）了解二次根式的性质；

（3）了解二次根式的加、减、乘、除的运算法则；

（4）会用二次根式的性质和运算法则进行有关实数的简单四则运算（不要求分母有理化）.

本章教材分析.

课本在回顾算术平方根的基础上,通过“合作学习”的三个问题引出二次根式的概念,并说明以前学的数的算术平方根也叫做二次根式.在例题和练习的安排上,着重体现三个方面的要求：一是求二次根式中字母的取值范围；二是求二次根式的值；三是用二次根式表示有关的问题.

对于二次根式的性质,课本利用第4页图1-2给出的.该图的含义是如果正方形的面积为,那么这个正方形的边长就是；反之,如果正方形的边长为,那么这个正方形的面积就是,因此就有.从而得出二次根式的第一个性质.至于第二个性质,可以通过学生的计算来发现,所以课本安排了一个“合作学习”,让学生自己去发现和归纳.该节第一课时的重点在于对这两个性质的理解和运用,例题和练习的设计就围绕这两个性质展开.第二课时是学习二次根式的另外两个性质,课本安排两组练习,意在让学生通过自己的尝试,与同学的合作交流来发现这两个性质.通过两个例题和一组练习,使学生知道运用二次根式的性质,可以简化实数的运算,也可以对结果是二次根式的式子进行化简.课本第9页的“探究活动”既是对二次根式的运用,更在于培养学生的一种探究能力,观察、发现、归纳等能力.

第1.3节二次根式的运算,包含了二次根式的加、减、乘、除四种运算以及简单应用,课本安排了3个课时,逐步推进,逐渐综合.第一课时侧重于两个（相当于两个单项式）二次根式的乘除,其法则是从二次根式的性质得到的,比较自然.例1是对两个运算法则的直接运用,让学生有一个对法则的熟悉和熟练过程；例2是一个结合实际问题的运用,其中有勾股定理和三角形的面积计算.第二课时是二次根式的加减和乘除混合运算,出现了类似单项式乘以多项式、多项式乘以多项式（包括乘法公式、乘方）、多项式除以单项式的运算.课本中没有出现“同类二次根式”的概念,只是提到“类似于合并同类项”“相同二次根式的项”,这种类比的方法,学生是能够理解的,也能够与整式一样进行运算.第三课时是二次根式运算的应用.例6的数字看上去比较复杂,其目的是为了二次根式的运算的应用；例7综合运用了直角三角形的有关知识、图形的分割、面积的计算等,其解答过程较长,也是对二次根式知识的综合运用.

二、本章编写特点

注重学生的观察、分析、归纳、探究等能力的培养.

在本章知识的呈现方式上,课本比较突出地体现了“问题情境——数学活动——概括——巩固、应用和拓展”的叙述模式,这种意图大多通过“合作学习” 来完成.“合作学习”为学生创设了从事观察、猜测、验证交流等数学活动的机会.如第5页先让学生计算三组与的具体数值,再议一议与的关系,然后得出二次根式的性质“=”.二次根式的其他几个性质,课本中也是采用类似的方法.在学习了二次根式的有关性质后,课本又设计了一个“探究活动”,通过化简有关的二次根式,让学生自己去发现规律、表示规律、验证规律,并与同伴交流.所有这些都是教材编写的一种导向,以引起教与学方式上的一些的改变.

注重数学知识与现实生活的联系.

教材力求克服传统观念上学习二次根式的枯燥性,避免大量纯式子的化简或计算,适当穿插实际应用或赋予式子一些实际意义.无论是学习二次根式的概念,还是学习二次根式的性质和运算,都尽可能把所学的知识与现实生活相联系,重视运用所学知识解决实际问题能力的培养.如二次根式概念的学习,课本通过三个实际问题来引入,其目的就是关注概念的实际背景与形成过程,克服机械记忆概念的学习方式.又如,课本第3页,用二次根式表示轮船航行的的距离,第11页求路标的面积,第21页花草的种植面积问题等.特别是在二次根式的运算中,专门安排了一节内容学习二次根式运算的应用,例6选取的背景是学生熟悉的滑梯,例7选取的背景是学生感兴趣的剪纸条,以及作业中的堤坝、快艇问题等等.

充分利用图形,使代数与几何有机结合.

 

对于数与代数的内容,教材重视有关内容的几何背景,运用几何直观帮助学生理解、解决有关代数问题,是教材的一个编写特点,也是对教学的一种导向.本章中,如二次根式与直角三角形有关边的计算密切相关,课本在这方面选取了一定量的问题,既丰富了勾股定理的运用,又学习了二次根式的计算.又如二次根式的引入,课本以图形作为条件,让学生通过计算给出二次根式的概念；在学习二次根式的性质时,课本通过让学生读图1-2,从正反两方面来理解其含义,得出二次根式的性质.例题中结合图形示意,帮助学生理解问题,解决问题；作业或课本练习中设计一些图形中有关线段长度的计算；通过方格、直角坐标系来画三角形、确定点的位置等等.课本在安排二次根式的运算在日常生活和生产实际中的应用时,所选取的问题也在于体现学生所学知识之间的联系,感受所学知识的整体性,不断丰富学生解决问题的策略,提高解决问题的能力.

三、教学建议

注意用好节前语.

本章的节前语不多,但都紧密结合本节学习的内容,提出一个具体的问题.教学中可以利用它们来创设问题情境,引入课题.如第1.1节“排球网的高AD为2.43米,CB为米,你能用代数式表示AC的长吗?”短短的几句话,既是一个学生熟悉的问题情境,又是一个看似熟悉但又具有一定的挑战怀,与数学学习相联系的问题,教师可以由此提出一个与本节课学习有关的问题.教学中不应忽视这种作用.

注意把握教学难度.

与以往的教材相比,二次根式已降低了要求.如运用二次根式的性质将二次根式化简,只要求简单的,不要出现过于复杂的式子,并且明确根号内不含字母.对二次根式的四则运算,也仅局限于简单的,根号内不含字母,教学中不需补充超出课本题目要求的问题.当然对不同层次的学生,应该体现一定的弹性.课本第15页的作业题中的第7,8题,还可以借助于计算器进行计算.

充分运用类比的方法.

二次根式的运算以整式的运算为基础,其法则、公式都与整式的类似,特别是二次根式的加减,课本没有提出同类二次根式的概念,完全参照合并同类项的方法；二次根式的乘除、乘方运算类似于整式的乘除、乘方运算.因此对于二次根式的四则运算的教学应充分运用类比的方法,让学生理解其算理和算法,提高运算能力.

第2章 一元二次方程